卡方拟合优度检验 - 简明教程
By Ruben Geert van den Berg under Chi-Square Tests & Statistics A-Z
- 零假设 (Null Hypothesis)
- 假设 (Assumptions)
- 公式 (Formulas)
- 效应量 - Cohen’s W
- 功效和样本量计算 (Power and Sample Size Calculation)
卡方拟合优度检验 (Chi-Square Goodness-of-Fit Test) 检验一个分类变量在一个总体中是否具有某种假设的频率分布。卡方拟合优度检验也被称为：
示例 - 测试汽车广告
一家汽车制造商想为一款新车发起一项营销活动。他们将展示4种不同尺寸的广告（advertisements，简称 ads）。对于每种尺寸的广告，他们都有4个试图传达某种信息的广告，例如“这款车对环境友好”。然后，他们询问了 N = 80 人，他们最喜欢哪个广告。由此获得的数据在这个 Googlesheet 电子表格 中，部分内容如下所示。
那么，哪些广告在我们的样本中表现最好呢？ 我们可以简单地查找哪个广告最受访客欢迎：频率最高的广告就是每个广告尺寸的 众数 (mode)。
所以，让我们看一下第一个广告尺寸 - ad1 - 的频率分布，如下图所示。
观察频率和条形图
此图表中显示的观察频率 (observed frequencies) 为：
- 安全和家庭友好型：6
- 奢华和男性化：29
- 环境友好型：16
- 宽敞和便利：29
请注意，ad1 具有双峰分布：广告 2 和 4 都是赢家，各有 29 票。 但是，我们的数据仅包含 N = 80 的样本。那么我们是否可以得出结论，广告 2 和 4 在整个总体中也表现最佳？ 卡方拟合优度检验回答了这个问题。 对于这个例子，它试图拒绝所有广告在人群中表现一样好的零假设。
零假设 (Null Hypothesis)
通常，卡方拟合优度检验的零假设很简单：
\[H_0: P_{01}, P_{02},...,P_{0m},\; \sum_{i=0}^m\biggl(P_{0i}\biggr) = 1\]
其中 \(P_{0i}\) 表示某个分类变量中 \(m\) 个类别的总体比例。您可以选择任何比例集，只要它们加起来为 1 即可。 在许多情况下，所有比例相等是最可能的零假设。 对于只有 2 个类别的 二分变量 ，最好使用
- 二项检验 ，因为它给出了精确的而不是近似的显著性水平或
- 1 个比例的 z 检验 ，因为它给出了总体比例的 置信区间 。
无论如何，对于我们的示例，我们想表明某些广告比其他广告表现更好。 因此，我们将尝试反驳我们的 4 个总体比例都相等且 - 因此 - 为 0.25 的假设。
预期频率 (Expected Frequencies)
现在，如果这 4 个总体比例确实是 0.25，并且我们抽取了 N = 80 个受访者，那么我们预计每个广告将受到 0.25 · 80 = 20 个受访者的青睐。 也就是说，所有 4 个预期频率均为 20。我们需要知道这些预期频率有两个原因：
- 计算我们的检验统计量需要预期频率，并且
- 卡方拟合优度检验的假设也涉及预期频率。
假设 (Assumptions)
卡方拟合优度检验需要 2 个假设 2, 3：
- 独立的观察值 (independent observations)；
- 对于 2 个类别，每个预期频率 \(Ei\) 必须至少为 5。 对于 3 个以上类别，每个 \(Ei\) 必须至少为 1，并且所有 \(Ei\) 中不超过 20% 可能小于 5。
我们数据中的观察值是独立的，因为它们是不同的人，他们在完成我们的调查时没有互动。 我们还看到，对于我们的示例，所有 \(Ei\) 都是 (0.25 · 80 =) 20。 因此，第二个假设也满足了。
公式 (Formulas)
我们将首先计算 \(^2\) 检验统计量，如下所示：
\[\chi^2 = \sum\frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}\]
其中
- \(O_i\) 表示 观察频率 (observed frequencies)，并且
- \(E_i\) 表示 预期频率 (expected frequencies) - 通常都相等。
对于 ad1，这将导致：
\[\chi^2 = \frac{(16 - 20)^2}{20} + \frac{(29 - 20)^2}{20} + \frac{(9 - 20)^2}{20} + \frac{(29 - 20)^2}{20} = 18.7 \]
如果满足所有 假设，则 \(^2\) 近似服从具有 \(df\) 个自由度的卡方分布，其中
\[df = m - 1\]
对于 \(m\) 个频率。 由于我们有 4 个不同广告的 4 个频率，
\[df = 4 - 1 = 3\]
对于我们的示例数据。 最后，我们可以简单地查找 显著性水平 ：
\[P(\chi^2(3) > 18.7) \approx 0.00032\]
我们在 此 Googlesheet 电子表格 中运行了这些计算，如下所示。
那么这意味着什么？ 好吧，如果所有 4 个广告在人群中都同样受欢迎，那么找到我们观察到的频率的可能性为 0.00032。 由于 p < 0.05，我们拒绝零假设。 结论：在整个读者群体中，某些广告比其他广告更受欢迎。
好的，因此可以安全地假设总体比例并不都相等。 但它们到底有多不同？ 我们可以用一个数字来表达： 效应量 (effect size)。
效应量 - Cohen’s W
卡方拟合优度检验（以及 卡方独立性检验 ）的效应量是 Cohen’s W。 一些经验法则 1 是
- Cohen’s W = 0.10 表示 小 效应量；
- Cohen’s W = 0.30 表示 中等 效应量；
- Cohen’s W = 0.50 表示 大 效应量。
Cohen’s W 计算如下：
\[W = \sqrt{\sum_{i = 1}^m\frac{(P_{oi} - P_{ei})^2}{P_{ei}}}\]
其中
- \(P_{oi}\) 表示观察到的比例 (observed proportions)，并且
- \(P_{ei}\) 表示零假设下预期的比例 (expected proportions)，适用于
- \(m\) 个单元格。
对于 ad1，零假设表明所有预期比例均为 0.25。 观察到的比例是从观察到的频率计算出来的（参见下面的屏幕截图），结果为
\[W = \sqrt{\frac{(0.2 - 0.25)^2}{0.25} +\frac{(0.3625 - 0.25)^2}{0.25} +\frac{(0.075 - 0.25)^2}{0.25} +\frac{(0.3625 - 0.25)^2}{0.25} } = \]
\[W = \sqrt{0.234} = 0.483\]
我们在 此 Googlesheet 电子表格 中运行了这些计算，如下所示。
对于 ad1，效应量 \(W\) = 0.483。 这表明观察到的频率和预期的频率之间存在很大的总体差异。
功效和样本量计算 (Power and Sample Size Calculation)
现在我们计算了效应量，我们就可以进行最后 2 个步骤了。 首先， 功效 怎么样？ 如果出现以下情况，证明效应的概率是多少？
- 我们在 α = 0.05 处进行检验；
- 我们的样本为 N = 80；
- df = 3（我们的结果变量有 4 个类别）；
- 我们不知道总体效应量 \(W\)？
下图（在 G*Power 中创建）回答了这个问题。
一些基本结论是
- 对于 大 效应量，功效 = 0.98；
- 对于 中等 效应量，功效 = 0.60；
- 对于 小 效应量，功效 = 0.10。
这些结果不是太好：如果总体效应量为中等且 N = 80，我们只有 0.60 的概率拒绝零假设。 但是，我们可以通过增加样本量来增加功效。 那么，如果出现以下情况，我们需要哪些样本量？
- 我们在 α = 0.05 处进行检验；
- 我们希望功效 = 0.80；
- df = 3（我们的结果变量有 4 个类别）；
- 我们不知道总体效应量 \(W\)？
下图显示了所需样本量如何随着效应量的增加而减少。
在上述条件下，我们有功效 ≥ 0.80
- 对于 大 效应量，如果 N = 44；
- 对于 中等 效应量，如果 N = 122；
- 对于 小 效应量，如果 N = 1091。
参考文献
- Cohen, J (1988). Statistical Power Analysis for the Social Sciences (2nd. Edition) . Hillsdale, New Jersey, Lawrence Erlbaum Associates.
- Siegel, S. & Castellan, N.J. (1989). Nonparametric Statistics for the Behavioral Sciences (2nd ed.). Singapore: McGraw-Hill.
- Warner, R.M. (2013). Applied Statistics (2nd. Edition) . Thousand Oaks, CA: SAGE.